您能解释一下矢量方程,参数方程和笛卡尔方程之间的区别吗?


回答 1:

我将在其中使用平面方程

R3\R^3

举个例子。

笛卡尔形式的平面的最一般方程是

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

这只是一个代数方程式。 笛卡尔方程只是多元多项式(并非相反)。 如果您要分析该方程的零点集并在图中绘制这些零点

R3\R^3

,那么您会得到一架飞机。

平面的向量方程为

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

这只是一个涉及向量的方程式。 这里

v0\vec{v_0}

是飞机上的一个点

v1\vec{v_1}

v2\vec{v_2}

是方向向量(位于平面中的两个线性独立向量)。 第二个方程式只是向量方程式,它使用向量相对于的标准基准的坐标以矩阵形式展开

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

平面的参数方程如下

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

它根据两个参数描述每个坐标

ss

tt

.