您如何理解无限小的事物和不存在的事物之间的区别? 它们在实质上有区别吗? https://www.youtube.com/watch?v=_mMuLwNR0J8


回答 1:

在现实世界中,没有任何事物是无限小的。 无限小是一种(非常有用的)数学小说。 有一个长度,即“普朗克长度”,无法确定距离,就像现实的终极模糊性一样。 它是如此之小,以至于几乎所有实际目的,我们都可以将空间视为连续的,并在数学上对其进行处理,就好像它是连续的并且总是可以进一步划分的。

无穷大或无穷小不是普通数字。 它们被定义为流程中的限制。 无穷大是大于您命名的任何数字的数字,而无限小可以定义为其反(1 / x)。

从数学上讲,您可以使用无限小的数字做的有用的事情是将它们与其他无限小的数字进行比较。 它们的比率和关系在微积分中用于完成各种有用的事情,例如计算落球或行星的轨迹。 我们可以说,物体行进的无限小距离除以无限短的时间即为物体的瞬时速度。 我们无法测量时间或距离,但是我们知道物体以一定速度运动。 后来,对象具有不同的速度,因此我们知道距离与时间的比率发生了变化。 我们不在乎实际的移动距离和所花费的时间-它们只是无限小-但我们确实关心比率-即速度-以及它随着时间的变化如何响应施加的力。


回答 2:

通常,我们往往会在近似值和实际值之间感到困惑。

近似值:测量中通常不需要精确度(精确度很高)。 因此,您需要在可接受的近似公差范围内折衷-因此,任何小于公差的事物都会被忽略。

实际值:现在几乎无法测量实际值(考虑将表的长度测量到原子级或亚原子级的任务)。 但是必须承认一个实际值的存在,并以我们大多数测量值都是近似值这一事实来使人安心。

现在回到您的问题(答案就在您的问题本身中):无穷小值和无值之间的区别只是某个值的存在(但是无穷小值而不是“ 0”)。

在现实世界中,区分两者的能力在很大程度上取决于您的测量工具。 每个测量工具都有一个与之相关的误差因子(但仍会发现一个误差为“ 0”的测量工具)。 因此,到目前为止,尚无法区分它们。

甚至我们可以创造的真空也不是完美的真空-这意味着我们还没有创造一个空间,该空间不会对现有技术造成任何影响。 我们在几乎是最经济的真空状态下划清了一条线,然后继续前进。

希望这个答案在一定程度上有所帮助,如果您可以在问题上更清楚一点,将对其进行修改。


回答 3:

在标准分析中,您不能这样做。 如果找不到无穷小数和零之间的实数,则该数字为零。 同样,如果您有两个实数,并且在两者之间找不到实数,则它们彼此相等。

在其他有序数系统中,例如超现实或超现实,非零无穷小数内置于结构中,并且与零不同。 实际上,最终您会得到无数个彼此不同的无穷小数。 对于整个无穷多个值,也会发生相同的情况。

因此,请查看您正在使用的对象和公理的类型,看看它们是否一致。