有理数与无理数之间是否存在真实的,概念上的差异?或者这些差异是我们编号系统的伪像吗?


回答 1:

两者之间的概念差异是巨大的。 有理数纯粹是用代数定义的:从整数环(这是其中存在无限顺序的元素(即数字1)的最小环)开始,并取其分数域。 这是一个有限的纯代数过程。 不需要分析的概念(例如极限,收敛等)。 但是要定义实数,我们需要分析。 具体来说,我们需要实数字段上的“度量”概念(这是距离概念的数学形式化)和“字段相对于度量的完成”概念。 实数集定义为有理数域相对于标准(原始)度量的完成。 更具体地说,它是有理数的“ Cauchy序列”的等价类的集合,相对于标准度量(它实际上是一个字段)。

有理数集自然包含在实数集中:每个有理数x都会产生一个恒定的柯西序列(x,x,x,x,...)。 实数集合中有理数集合的补码称为无理数集合。 具体来说,我们可以用十进制形式表示每个实数。 这只是记录该数字的柯西序列的一种特殊方式(即,对于所有n,与实数的十进制表示相对应的柯西序列是其前n位数字的序列)。 但是实数(因此是非理性数)的概念本身与表示数字的特定方式无关。 例如,我们可以改用二进制形式或任何其他“基数k”形式。 这只是代表问题。 实数的概念是独立于任何特定表示形式定义的。

一旦您了解了这个定义,就会很清楚,无理数比有理数要复杂得多。 从任何意义上讲,有理数和无理数都不是同一枚硬币的两面。 例如,前一组是可数的,而后者则不是(这是著名的康托尔对角线论证的结论)。 有理数形成一个字段(它是实数字段的子字段),但无理数则不是。

我还要提及的是,这两个概念在数学上有许多对应关系。 我们可以从任何环开始,而不是整数环。 例如,高斯整数环(a + bi),其中i是-1的平方根,并取其分数域。 然后,我们可以在该字段上引入一个指标,并完成它。 在高斯整数的情况下,如果采用标准(阿基米德)度量,则将复数字段作为补全。 还有另一种概括:除了有理数域(或另一个环的分数域,例如高斯整数环)上的阿基米德度量,还存在其他度量。 例如,对于有理数领域,每个素数p都有所谓的p-adic度量。 关于p-adic度量的有理数域的完成称为p-adic数域。 这些与实数和复数领域一样有趣,并且在过去的100年中,在这一领域进行了大量研究。 因此,您的问题使我们想到了一些真正令人着迷的构想。 (有关更多信息,请仅谷歌我上面强调的概念。)


回答 2:

是。

定义它们后,它们就完全不同了。 有理数是可以表示为两个整数之比的数字。 无理数是那些不可以。 它倾向于使用任意有理数进行计算和操作,因为因为我知道我有一个有理数,就可以用加法,乘法,减法和除法将其写下来。 非理性主义者的行为并不那么好。

它们具有乘法逆的事实使它们成为一个领域。 在上述操作下,它们也被关闭。 您可以将两个无理数相乘并得到一个有理数-无理数以有理不存在的方式流血。

另外,他们的无限性感觉(并且确实)完全不同。 一个是计数的可理解的,可想象的,几乎可见的无穷大,另一个是连续体的不可理解的密度。

我敢肯定还有更多。 我的知识有限,但最明显的是。


回答 3:

是。

定义它们后,它们就完全不同了。 有理数是可以表示为两个整数之比的数字。 无理数是那些不可以。 它倾向于使用任意有理数进行计算和操作,因为因为我知道我有一个有理数,就可以用加法,乘法,减法和除法将其写下来。 非理性主义者的行为并不那么好。

它们具有乘法逆的事实使它们成为一个领域。 在上述操作下,它们也被关闭。 您可以将两个无理数相乘并得到一个有理数-无理数以有理不存在的方式流血。

另外,他们的无限性感觉(并且确实)完全不同。 一个是计数的可理解的,可想象的,几乎可见的无穷大,另一个是连续体的不可理解的密度。

我敢肯定还有更多。 我的知识有限,但最明显的是。


回答 4:

是。

定义它们后,它们就完全不同了。 有理数是可以表示为两个整数之比的数字。 无理数是那些不可以。 它倾向于使用任意有理数进行计算和操作,因为因为我知道我有一个有理数,就可以用加法,乘法,减法和除法将其写下来。 非理性主义者的行为并不那么好。

它们具有乘法逆的事实使它们成为一个领域。 在上述操作下,它们也被关闭。 您可以将两个无理数相乘并得到一个有理数-无理数以有理不存在的方式流血。

另外,他们的无限性感觉(并且确实)完全不同。 一个是计数的可理解的,可想象的,几乎可见的无穷大,另一个是连续体的不可理解的密度。

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