布尔代数与逻辑和集合论有什么区别?


回答 1:

逻辑是推理规则的表述。 逻辑最重要的部分是获取信息并从中推断出其他信息的能力。 一个很好的例子是两个陈述:“下雨时,地面会变湿”和“现在正在下雨”,这意味着您可以推断出地面现在正在变湿。

逻辑形式有很多种,布尔逻辑和集合论就是两个例子。

布尔逻辑是经典逻辑的实现,假设有2个值。 它引入了真理的概念,认为真理比虚假的东西要大得多。 换句话说,如果“ true”为T,而“ false”为F,则

TFT \geq F

。 然后,我们可以分析之前的语句:

  • p=It’s raining right nowp = \textsf{It's raining right now}
  • q=The ground is getting wetterq = \textsf{The ground is getting wetter}
  • pq=When it rains, the ground gets wetterp \to q = \textsf{When it rains, the ground gets wetter}

最后一条语句:

pqp \to q

等同于声称

pqp \geq q

,或在参考中,q至少与p一样。

当放在一起时,要知道

pqp \to q

pp

,那么我们知道

qq

.

我们介绍以下概念:

  • pqp \wedge q
  • 意思是“ p AND q”
  • pqp \vee q
  • 意思是“ p OR q”
  • ¬p\neg p
  • 意思是“不p”

集合论对真理采取了不同的方法。 它对成员资格感兴趣。 某物是集合的成员,或者不是。

在这方面,我们设定了包容性,也就是说

ABA \subseteq B

表示A的每个元素都包含在B中(但不一定是相反的)。 陈述相反的方向:

ABA \supseteq B

表示B中的每个元素都包含在A中(但不一定是相反的)。

这在这种逻辑中起着暗示的作用。 如果我知道

A\superseteqBA \superseteq B

而且我所有的元素都是

AA

,那么我所有的元素也

BB

.

我们说元素是集合的成员

aAa \in A

表示“ a是A集合的成员”。

一个例子就是所有人

AA

也是凡人

BB

。 那么,如果苏格拉底是人类(

sAs\in A

),那么他也是凡人(

sB).s\in B).

同样,我们有以下概念:

  • ABA \cup B
  • 表示A和B(交集)中所有元素的集合
  • ABA \cap B
  • 表示A或B或两者(联合)中所有元素的集合
  • Aˉ\bar{A}
  • 表示所有不在A(补码)中的所有元素的集合

布尔代数在技术上被称为互补分布格,对于具有以下特征的任何事物来说都是花哨的话题:

  • min(A,B)\min(A, B)
  • A和B之间的最小值(技术上最小)。这是布尔逻辑中的“ AND”,并且是集合论中的交集。
  • max(A,B)\max(A, B)
  • A和B之间的最大值(技术上的最大值)。这是布尔逻辑中的“ OR”,而在集合论中则是“并”。 在布尔逻辑中是“ NOT”,在集合论中是互补的。

当然,此代数要求运算具有某些属性才能称为布尔代数。

在这方面,“代数”一词描述的东西既具有加法性质又具有乘法性质。 布尔代数接受并继续。

如果我们知道布尔代数也是Heyting代数

¬¬a=a\neg \neg a = a

,因为它们具有恰好根据乘法定义的指数概念。 在布尔逻辑中,这就是含义。 在集合论中,这是(非严格)超集。

这意味着我们有以下法律:

a(bc)=(ab)ca \to (b \to c) = (a \wedge b)\to c

类似于求幂:

(cb)a=c(b×a)(c^b)^a=c^{(b\times a)}


回答 2:

布尔代数是一组关于规则的分组,这些规则可以是对,也可以是假(以将其形式化的人命名)。

逻辑本质上是关于推理的。 由于它是自己的领域,因此在推理可以推理的内容以及方法。 此时,它有许多分支。

措辞这样的集合论(与“集合论”相反,后者可能意味着很多事情)通常被理解为表示Zermelo-Fraenkel集合论以及可能的其他公理。 这是一种使用少量公理推理无序集合(称为集合)的方法,并将其扩展为包括诸如基于这些公理的各种数字之类的事物。